Circuferencias

domingo, 16 de octubre de 2011

Ejercicios de la circunferencia

Ejercicios Resueltos de la Circunferencia

  1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación:    x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .

Solución:   Aplicando completando  trinomios cuadrados perfectos obtenemos:

( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0

Al reducir la expresión obtenemos la ecuación  de la circunferencia                        

( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0

Por tanto, el centro y el radio son:  

C ( 8 , - 1 ) ; a = 0



  1. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:
x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 .

SOLUCIÓN
Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:

( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4

De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y        K = 4.

Como a² =4, entonces a = 2.

El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al
centro C.

a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4

Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16


  1. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

SOLUCIÓN
El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:
C (h ,k)

k = 2

h = -2

Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:

radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 ,

por lo tanto, C B ² = 52 = radio

La ecuación de la circunferencia pedida es:

( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52.


  1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

Solución:   Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:

(x + 5)² + (y – 12)² = 169

 x² + y² + 10x – 24y = 0

Si sustituimos x = 0,   y = 0 en la ecuación, esta se verifica.

 Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).


  1. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia      x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.

SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación:

x = 10 - 2 y

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se
obtiene:

(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0

100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0

5 y² - 40 y + 80 = 0

y² - 8 y + 16 = 0

Resolviendo para y:
Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X:

x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2

De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común T(2,4), que es precisamente el de tangencia.


EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA

  1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.

  1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya  ecuación es:           9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia

  1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0.

  1. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

  1. Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones:
 

x² + y² - 2 x + 4 y = 0
x² + y² + 2 x + 6 y = 0


  1. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferencia                              x² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto.

30 comentarios:

  1. Me parece que los metodos utilizados para la resolucion de los problemas propuestos son los mas utilizados pero seria conveniente mostrar otros caminos para resolverlos.

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  2. Para mi parecer esta cónica es muy aplicada y por ende la mas fácil y mucho mas si tenemos facilidad por medio de este blog a videos y parte científica que nos ayudara a conocer mas sobre esta cónica

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  3. diego villao los ejemplos expuestos en el blog son muy utiles ya que muestran detalladamente los metodos para la resolucion de problemas referentes a la circunferencia.

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  4. La circunferencia es una de las cónicas más fácil y a mi parecer está muy bien explicado en estos ejercicios,además gracias a la teoría que pudimos apreciar podemos aplicar con certeza en la resolución de los problemas.

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  5. GINA MANZABA ME PARECIO MUY BIEN DETALLADO ME ENCANTO COMO ESTA EXPLICADO Y ESTO ME PUEDE SERVIR MUCHO EN LOS PROBLEMAS DE CLASE

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  6. Mishel Arias:
    Este blog lo hicimos con muchas ganas y pues esperando que sea de mucha ayuda para que facilite el aprendizaje de esta conica, ya que es muy aplicada. Los videos al igual que los ejercicios creo que son muy ilustativos y explicativos.

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  7. JORGE GONZALEZ: LOS EJERCIOS PROPUESTOS ME PARECEN LOS MAS APTOS PARA APRENDER Y AUMENTAR MIS CONOCIMIENTOS LOS METODOS DE RESLUCION CREO QUE SON LOS MAS UTILIZADOS EN EN NUESTROS PROBLEMAS DE CALCULO Y SU DESARROLLO

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  8. Cristian Majin
    Creo que la informacion dada fue de mucha ayuda porque nos ayuda resolver los ejercicio propuestos.los videos fueron bien explicados y la teoria fue la mas correcta.

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  9. KATHERINE BARRENO
    este ejercicio es muy conveniente para poder entender como resolver los problemas de la circunferencia

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  10. SHIRLEY TRIGUERO:
    ME PARECIO MUY INTERESANTE ESTOS VIDEOS MUY BIEN ESTRUCTURADOS Y EXPLICADOS

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  11. daniel alvarez:

    me parecio muy bien detallado y muy bien explicado para poder entender facilmente

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  12. Ena Narváez:
    En si la circunferencia no es una conica muy complicada como las de mas, y es un poco mas facil de entenderla; y tiene ua gran aplicación en la vida cotidia.

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  13. EVELYN VILATUÑA
    El blog fue hecho con el afán de que quienes accedan a este sitio puedan aclarar sus dudas y reforzar los conocimientos adquiridos en clase.Esperamos les agrade y pongan en práctica lo que se da a visualizar.

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  14. los ejercicios están explicados claramente. Pero me parece que seria mejor si todo lo utilizado se podría resumir en un solo ejercicio seria mejor.

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  15. John Montaño:
    He despejado muchas dudas a cerca de como resolver este tipo de ejercicios, ya que aqui se se explica detalladamente paso a paso lo que se debe hacer.

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  16. Mayra Arcos:
    este blog me parece muy bien presentado ya que nos da a conocer ejercicios muy claros que nos ayudan a despejar dudas.

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  17. Es muy bueno el metodo pero creo que deberian mostrar mas tipos metodos que sean faciles y novedosos gracias por aclarar mis dudas...

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  18. Este tipo de cónica no es tan complicada por ende puedo decir que con la ayuda didáctica de estos videos y la teoría adquirida podemos resolver sin ningún problema los ejercicios de aplicación....

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  19. ALEXANDER ALVAREZ:
    ME GUSTO MUCHO ESTE BLOG YA QUE NOS MUESTRA LAS PARTES Y POR DONDE SE EMPIEZA PARA PODER REALIZAR UNA CIRCUFENRENCIA

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  20. Luis Valdivieso:
    Me gustan los videos de resolución de esta cónica son muy detallados y facilitan el aprendizaje

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  21. Jessica Parra
    Esta explicacion de la circunferencia es super facil de entender, este blog esta muy bueno ya que todos los videos te explican muy bien como reconocer y realizar los calculos de sta conica

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  22. Mariel Bonilla
    Espero que les agrade este blog porque fue pensado especialmente para despejar todas las dudas que tengan acerca de lacircunferencia de una manera más interactiva y comprensible.

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  23. Los videos nos ayudan a comprender mejor la forma en la que se define la circunferencia y que es muy fácil de aplicar a los ejercicios.

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  24. Este blog esta hecho con el unico proposito de facilitar y entender de mejor manera la circunferencia para eso ilustramos una serie de ejercicios y videos para que incluso nos ahorremos tiempo...

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  25. Freddy Cuenca.
    Este blog esta hecho con el unico proposito de facilitar y entender de mejor manera la circunferencia para eso ilustramos una serie de ejercicios y videos para que incluso nos ahorremos tiempo...

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  26. los vídeos y ejercicios que este blog presenta son muy interesantes, porque así logras comprender como realizar la cónica de la circunferencia

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  27. el blog esta bien echo los videos interesantes la informacion tambien el perfil entretiene mejor son las conicas de la circunferencia bien explicada

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  28. Lizbeth Caizatoa
    Este tema me parecio interesante ya que me ayudo a refrzar mis conocimientos lo que mas me gusto fue la diferencia entre circulo y circunferencia.

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  29. ANDREA TUPE
    PARA MI PARECER ESTA MUY BIEN YA QUE NOS EXPLICA DETALLADAMENTE Y NOS HACE ENTENDER LAS FORMAS COMO REALIZAR LOS EJERCICOS DE LA CIRCUNFERENCIA

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  30. DIANA BELEN SANCHEZ: esta sección del blog me perecio muy util e interesante ya que muestra ejercicios que facilitan la comprension de la circunferencia

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