Circuferencias

domingo, 16 de octubre de 2011

Ejercicios de la circunferencia

Ejercicios Resueltos de la Circunferencia

  1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación:    x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .

Solución:   Aplicando completando  trinomios cuadrados perfectos obtenemos:

( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0

Al reducir la expresión obtenemos la ecuación  de la circunferencia                        

( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0

Por tanto, el centro y el radio son:  

C ( 8 , - 1 ) ; a = 0



  1. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:
x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 .

SOLUCIÓN
Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:

( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4

De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y        K = 4.

Como a² =4, entonces a = 2.

El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al
centro C.

a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4

Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16


  1. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

SOLUCIÓN
El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:
C (h ,k)

k = 2

h = -2

Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:

radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 ,

por lo tanto, C B ² = 52 = radio

La ecuación de la circunferencia pedida es:

( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52.


  1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

Solución:   Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:

(x + 5)² + (y – 12)² = 169

 x² + y² + 10x – 24y = 0

Si sustituimos x = 0,   y = 0 en la ecuación, esta se verifica.

 Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).


  1. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia      x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.

SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación:

x = 10 - 2 y

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se
obtiene:

(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0

100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0

5 y² - 40 y + 80 = 0

y² - 8 y + 16 = 0

Resolviendo para y:
Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X:

x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2

De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común T(2,4), que es precisamente el de tangencia.


EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA

  1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.

  1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya  ecuación es:           9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia

  1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0.

  1. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

  1. Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones:
 

x² + y² - 2 x + 4 y = 0
x² + y² + 2 x + 6 y = 0


  1. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferencia                              x² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto.

Vídeos de la circunferencia

Por medio de los siguientes videos se pretende facilitar el conocimiento acerca de  la definicion de circunferencia y sus elementos.

Vídeo de la definición de circunferencia.

Vídeo: como obtener centro y radio de la ecuación general de la circunferencia

Vídeo: angulo externo de una circunferencia formado por una recta secante y una recta tangente

Vídeo: Relaciones métricas con la circunferencia: rectas secantes.

 en este enlace encontraran informacion sintetizada de la circunferencia.

Centro y radio de la circunferencia

http://www.youtube.com/watch?v=WJYdPmbMpPY
En el siguiente enlace podremos observar como se resuelve de dos maneras la ecuac`ñon general de la circunferencia para obtener el centro y radio de la misma.

Propiedades de la circunferencia

En este video podremos conocer las diferentes propiedades de la circunferencia, como por ejemplo como obtener su perimetro y que significa la constante pi.

Elementos de la circunferencia

En el siguiente video conoceremos detalladamente los elementos de la circunferencia.

Definición de Circunferencia

En el siguiente enlace podremos conocer la definición de la circunferencia, sus elementos y de que manera se obtiene la ecuacìón de la circunferencia con el centro (h, k).

La Circunferencia

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C;r) es el conjunto siguiente: 
C (C; r) = {P tal que  = r}
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/circunferencia.html